如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,侧面PAB是边长为2的正三角形,侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)设AB的中点为Q,求证:PQ⊥平
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,侧面PAB是边长为2的正三角形,侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)设AB的中点为Q,求证:PQ⊥平
题型:南开区二模
难度:
来源:
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,侧面PAB是边长为2的正三角形,侧面PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)设AB的中点为Q,求证:PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)在侧棱PC上存在一点M,使得二面角M-BD-C的大小为60°,求
CM
CP
的值.
答案
(Ⅰ)证明:∵侧面PAB是正三角形,AB的中点为Q,∴PQ⊥AB,
∵侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,PQ⊂侧面PAB,
∴PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)连接AC,设AC∩BD=O,建立空间直角坐标系O-xyz,
则O(0,0,0),
B(
3
,0,0)
,C(0,1,0),
D(-
3
,0,0)
,
P(
3
2
,-
1
2
,
3
)
,
PD
=(-
3
3
2
,
1
2
,-
3
)
,平面ABCD的法向量
m
=(0,0,1)
,
设斜线PD与平面ABCD所成角的为α,
则
sinα=|cos<
m
,
PD
>|=|
m
•
PD
|
m
||
PD
|
|=
3
27
4
+
1
4
+3
=
30
10
.
(Ⅲ)设
CM
=t
CP
=
(
3
2
t,-
3
2
t,
3
t)
,
则M
(
3
2
t,-
3
2
t+1,
3
t)
,
BM
=
(
3
2
t-
3
,-
3
2
t+1,
3
t)
,
DB
=2
3
(1,0,0)
,
设平面MBD的法向量为
n
=(x,y,z)
,
则
n
⊥
DB
⇔
n
•
DB
=0⇔x=0
,
n
⊥
MB
⇔
n
•
MB
=0⇔
(
3
2
t-
3
)x+(-
3
2
t+1)y+
3
tz=0
,
取
z=
3
,得
n
=(0,
6t
3t-2
,
3
)
,又平面ABCD的法向量
m
=(0,0,1)
.
∴
|
m
•
n
|
m
|
n
|
|=|cos<
m
,
n
>|=|cos60°|
,∴
3
3+
(
6t
3t-2
)
2
=
1
2
,
解得t=2(舍去)或
t=
2
5
.
所以,此时
CM
CP
=
2
5
.
举一反三
如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,
BD=
2
,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A"BD⊥平面BCD,则BC与平面A′CD所成的角的正弦值为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,已知AB=1,D在棱BB
1
上,且BD=1,若AD与平面AA
1
CC
1
所成的角为a,则sina=______.
题型:天津模拟
难度:
|
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已知斜三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧面A
1
ACC
1
与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2
3
,且AC=AA
1
=A
1
C.
(Ⅰ)求侧棱AA
1
与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A
1
ABB
1
与底面ABC所成二面角的正切值;
(Ⅲ)求侧棱B
1
B和侧面A
1
ACC
1
的距离.
题型:不详
难度:
|
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直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是等腰梯形,AB
∥
CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD
1
的中点,F为AB中点.
(1)求证:EF
∥
平面ADD
1
A
1
;
(2)若
B
B
1
=
2
2
,求A
1
F与平面DEF所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在组合体中,ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC
1
D
1
D且
PD=PC=
2
.
(Ⅰ)证明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA与平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)若AA
1
=a,当a为何值时,PC
∥
平面AB
1
D.
题型:佛山一模
难度:
|
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