如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA=AC=2，BD=23，求直线BM与平面PAC所成的角

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如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直线BM与平面PAC所成的角．

答案

（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连接OM．
因为ABCD是菱形，则O为AC中点．
又M为PA的中点，所以OM∥PC．
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．

（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因为PA=AC=

2

，则PC=2．
又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO=

1

2

PC=1．
又BO=

1

2

BD=

3

，在Rt△BOM中，
tan∠BMO=

BO

MO

=

3

，所以∠BMO=60°．
故直线BM与平面PAC所成的角是60°．