如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，侧面B₁BCC₁与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B₁C₁、A₁A的中点，
（Ⅰ）求A₁A与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明A₁E∥平面B₁FC；
（Ⅲ）求经过A₁、A、B、C四点的球的体积。

答案

（Ⅰ）解：过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H，
连结AH，并延长交BC于G，连结EG，
于是∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角，
∵∠A₁AB=∠A₁AC，
∴AG为∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∴AG⊥BC，且G为BC的中点，
因此，由三垂线定理，A₁A⊥BC，
∵A₁A∥B₁B，且EG∥B₁B，EG⊥BC，
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE=120°，
由于四边形A₁AGE为平行四边形，
得∠A₁AG=60°，
所以，A₁A与底面ABC所成的角为60°；
（Ⅱ）证明：设EG与B₁C的交点为P，
则点P为EG的中点，连结PF，
在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，
故A₁E∥FP，
而FP平面B₁FC，A₁E平面B₁FC，
所以A₁E∥平面B₁FC。
（Ⅲ）解：连结A₁C，
在△A₁AC和△A₁AB中，
由于AC=AB，∠A₁AC=∠A₁AB，A₁A=A₁A，
则△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B，
由已知得A₁A=A₁B=A₁C=a，
又∵A₁H⊥平面ABC，
∴H为△ABC的外心，
设所求球的球心为O，则O∈A₁H，
且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A，
在Rt△A₁FO中，，
故所求球的半径，
球的体积。