如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在

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如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m，
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

答案

解：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O，
AP与平面相交于点G，连结OG，
因为PC∥平面，平面∩平面APC=OG，
故OG∥PC，
所以，OG=，
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP与平面所成的角，
在Rt△AOG中，tanAGO=，即m=，
所以，当m=时，
直线AP与平面所成的角的正切值为3。
（Ⅱ）可以推测，点Q应当是A₁C₁的中点O₁，
因为D₁O₁⊥A₁C₁，且D₁O₁⊥A₁A，
所以D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP平面ACC₁A₁，
故D₁O₁⊥AP，
那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。