在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D异于B、C）且AD⊥DE．（1）求证：面ADE⊥面BCC1B1（2）若△ABC为正三角形

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在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D异于B、C）且AD⊥DE．
（1）求证：面ADE⊥面BCC₁B₁
（2）若△ABC为正三角形，AB=2，AA₁=4，E为CC₁的中点，求二面角E-AD-C的正切值．

答案

（1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC₁
又∵AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁内的相交直线
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD⊂平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）由（1）知，AD⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥AD，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角
∵△ABC为正三角形，AB=2，AA₁=4，E为CC₁的中点，
∴CD=1，CE=2
∴tan∠EDC=

=2．

举一反三

如图，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）当四棱锥A"-BCDE体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

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已知平面四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2

，∠ABC=60°．现沿对角线AC将三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）记M，N分别为AB，DB的中点．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求点B到平面CMN的距离．

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已知二面角α-l-β的大小为120°，点B，C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，则AD的长为______．

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四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为

的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为______．

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正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中二面角A₁-BD-C₁的余弦值为______．

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