(I)当M在A1C1中点时,BC1∥平面MB1A ∵M为A1C1中点,延长AM、CC1,使AM与CC1延长线交于N,则NC1=C1C=a 连接NB1并延长与CB延长线交于G,则BG=CB,NB1=B1G(2分) 在△CGN中,BC1为中位BC1∥GN 又GN⊂平面MAB1,∴BC1∥平面MAB1(4分) (II)∵△AGC中,BC=BA=BG∴∠GAC=90° 即AC⊥AG又AG⊥AA1AA1∩AC=A∴AG⊥平面A1ACC1,AG⊥AM(6分) ∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角∴tan∠MAC==2 ∴所求二面角为 arctan2.(8分) (Ⅲ)设动点M到平面A1ABB1的距离为hM.VB-AB1M=VM-AB1B=S△ABB1•hM=•a2hM≤a2•a=a3 即B-AB1M体积最大值为a3.此时M点与C1重合.(12分)
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