四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是菱形且∠ADC=60°.(1)求证:PA⊥CD;(2)求二面角P-AB-D的大

四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是菱形且∠ADC=60°.(1)求证:PA⊥CD;(2)求二面角P-AB-D的大

题型:不详难度:来源:
四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是菱形且∠ADC=60°.
(1)求证:PA⊥CD;
(2)求二面角P-AB-D的大小.
答案
(1)作PO⊥CD于O,连接OA
由侧面PDC与底面ABCD垂直,则PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC,又由∠ADC=60°,DO=1,AD=2,
则∠DOA=90°,即OA⊥CD
分别以OA,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
由已知P(0,0,


3
),A(


3
,0,0),D(0,-1,0),C(0,1,0),


PA
=(


3
,0,-


3
),


CD
=(0,-2,0),


PA


CD
=0,∴


PA


CD

∴PA⊥CD.
(2)∵P(0,0,


3
),A(


3
,0,0),B(


3
,2,0),D(0,-1,0),


PA
=(


3
,0,-


3
),


PB
=(


3
,2,-


3
),


DA
=(


3
,1,0)


DB
=(


3
,3,0

设平面ABP的法向量为


m
=(x1y1z1)
,则


m


PA
=0


m


PB
=0








3
x1-


3
z1=0


3
x1+2y1-


3
z1=0
,解得


m
=(1,0,1).
设平面ABD的法向量为


n
=(x2y2z2)
,则


n


DA
=0


n


DB
=0








3
x2+y2=0


3
x2+3y2=0
,解得


n
=(0,0,1),
设二面角P-AB-D的平面角为θ,
则cosθ=|cos<


m


n
>|=|
1


2
×1
|=


2
2

∴θ=45°,
故二面角P-AB-D的大小为45°.
举一反三
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则二面角D1-AB-D的大小为______.
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四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2


3
的正方形,顶点在底面的投影是底面的中心,且该四棱锥的体积为12,则底面与侧面所成二面角的大小为______.
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已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,PA=3,AB=2,BC=


3
,则二面角P-BD-A的正切值为(  )
A.1B.2C.


21
2
D.
2


21
63
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若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,且侧棱垂直于底面,若AB1与底面ABCD成60°角,则二面角C-B1D1-C1的平面角的正切值为 ______.
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(理)ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,又SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
1
2
,面SCD与面SAB所成二面角的正切值为______.
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