(I)证明:连接CD1,与C1D相交于O,连接EO. ∵CDD1C1是矩形, ∴O是CD1的中点, 又E是BC的中点, ∴EO∥BD1.(2分) 又BD1⊄平面C1DE,EO⊂平面C1DE, ∴BD1∥平面C1DE.(4分)
(II)过点C作CH⊥DE于H,连接C1H. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD, ∴C1H⊥DE, ∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角.(7分) 根据平面几何知识,易得H(0.8,1.6,0) .∴=(-0.8,0.4,0),=(-0.8,0.4,3), ∵cosC1HC=COS<,>==(9分) ∴∠C1HC=arccos, ∴二面角C1-DE-C的大小为ArCCOs.(10分)
(III)在侧棱BB1上不存在点P,使得CP⊥平面C1DE(11分) 证明如下: 假设CP⊥平面C1DE,则必有CP⊥DE. 设P(2,2,a),其中0≤a≤3, 则=(2,0,a),=(1,2,0), ∵•=2≠0,这显然与CP⊥DE矛盾. ∴假设CP⊥平面C1DE不成立, 即在侧棱BB1上不存在点P,使得CP⊥平面C1DE.(14分) |