证明:(Ⅰ)∵PA垂直矩形底面ABCD, ∴PA垂直BD, ∵AB=PA=BC(a>0), a=1, ∴AB=PA=BC, ∴底面ABCD为正方形, ∴BD垂直于AC, ∴BD垂直于△PAC, ∴BD⊥PC. (Ⅱ)∵AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在的直线为x轴,y轴,z轴, 建立坐标系
令AB=1,则BC=a, B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),P(0,0,1), 设BQ=m,Q(1,m,0),(0≤m≤a), 要使PQ⊥QD,只要•=-1+m(a-m)=0, 即m2-am+1=0, 由△=a2-4=0,得a=2,此时m=1. ∴BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD时, Q为BC的中点,且a=2, 设面PQD的法向量=(x,y,1), 则,即, ∴=(,,1), 取面PAD的法向量=(1,0,0), 则<,>的大小与三面角A-PD-Q的大小相等, ∵cos<,>==, ∴二面角A-PD-Q的余弦值为. |