如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AB=AA1=22，点D是AB的中点，点E是BB1的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABB1A1；（2

题型：不详难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-CE-A₁的大小．

答案

（1）证明：∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB


∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥CD
∵BB₁∩AB=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）由题意，在△CEA₁中，CA₁=2

3

，EA₁=

10

，CE=

6

∴cos∠A₁CE=

12+6-10

2•2 3 • 6

=

2

3

∴sin∠A₁CE=

7

3

∴S_△A1CE=

1

2

•2

3

•

6

•

7

3

=

14

∵S_△CED=

1

2

•2•

2

=

2

∴二面角D-CE-A₁的余弦值为

2

14

=

7

7

∴二面角D-CE-A₁的大小为

7

7

．