在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,BC⊥AC,EF∥AC,AB=2,EF=EC=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(

在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,BC⊥AC,EF∥AC,AB=2,EF=EC=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(

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在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,BC⊥AC,EFAC,AB=


2
,EF=EC=1.
(1)求证:AF平面BDE;
(2)求证:DF⊥平面BEF;
(3)求二面角A-BF-E的余弦值.魔方格
答案

魔方格
(1)证明:设AC与BD交与点O.
∵EFAO,且EF=1,AO=
1
2
AC=1.
∴四边形AOEF为平行四边形,
∴AFEO,
∵EO⊂面BDE,AF⊄面BDE,∴AF面BDE.…(3分)
(2)证明:∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥面ABCD,
连接FO,∵正方形ABCD的边长为


2
,∴AC=BD=2;
直角梯形ACEF中,FOEC,且FO=1,DF=BF=


2
,DE=BE=


3
,则BF⊥EF,
由BF=DF=


2
,BD=2可知BF⊥DF,
∵EF∩DF=F
∴BF⊥平面DEF;…(7分)
(3)取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=


2
,∴AM⊥BF,
又∵MNEF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.
AM=


3
2
AB=


6
2
,MN=
1
2
EF=
1
2

在Rt△APN中,可得AN2=AP2+NP2=
11
4

∴在△AMN中,可得cos∠AMN=
AM2+MN2-AN2
2AM•MN
=-


6
3
,…(12分)
举一反三
如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<
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2
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AE=3EB;
(Ⅰ)若A1F=
1
3
FA,求证:EF面DD1C1C;
魔方格

(Ⅱ) 求二面角A-EC-D1的正切值、
已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1为A1C1与B1D1的交点.
(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α,二面角A-B1D1-A1的大小为β.求证:tanβ=


2
tanα

(2)若点C到平面AB1D1的距离为
4
3
,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.魔方格
已知E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于______.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是a的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=2AB
(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(2)求二面角B-PC-D的余弦值.