已知三棱锥P-ABC中,E.F分别是AC.AB的中点,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.(1)证明EF∥平面PBC.(2)证明PC⊥平面PAB;(3)
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已知三棱锥P-ABC中,E.F分别是AC.AB的中点,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.(1)证明EF∥平面PBC.(2)证明PC⊥平面PAB;(3)
题型:不详
难度:
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已知三棱锥P-ABC中,E.F分别是AC.AB的中点,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.
(1)证明EF
∥
平面PBC.
(2)证明PC⊥平面PAB;
(3)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;
(说明:文科班只做(1),(2)理科班做(1)、(2)、(3))
答案
(1)证明:∵E,F是AC,AB的中点,∴EF
∥
BC,
∵BC⊂平面PBC,EF⊄平面PBC
∴EF
∥
平面PBC;
(2)证明:连结CF.
∵PE=EF=
1
2
BC=
1
2
AC,
∴AP⊥PC.
∵CF⊥AB,PF⊥AB,
∴AB⊥平面PCF.
∵PC⊂平面PCF,
∴PC⊥AB,
∴PC⊥平面PAB;
(3)∵AB⊥PF,AB⊥CF,
∴∠PFC为所求二面角的平面角.
设AB=a,则AB=a,则PF=EF=
a
2
,CF=
3
2
a
∴cos∠PFC=
a
2
3
2
a
=
3
3
.
举一反三
如图,正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A
1
、B
1
、C
1
,已知
O
A
1
=
3
2
.
(1)求证:B
1
C
1
⊥平面OAH;
(2)求二面角O-A
1
B
1
-C
1
的大小.
题型:江西
难度:
|
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已知三棱锥A-BCD的体积是V,棱BC的长是a,面ABC和面DBC的面积分别是S
1
和S
2
.设面ABC和面DBC所成的二面角是α,那么sinα=______.
题型:云南
难度:
|
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如图,已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=2,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD⊥平面 PCD.
(1)若 O 是 CD 的中点,证明:BO⊥PA;
(2)求二面角 B-PA-D 的余弦值.
题型:深圳二模
难度:
|
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已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,
PA=
2
,AB=1,AD=2,O 是BC 的中点.
1)求证:平面PAO⊥平面POD.
2)求二面角P-OD-A 的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)若PA=AB,求二面角A-PD-B的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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