![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022103801-22321.png) (Ⅰ)当M为棱PA中点时,OM∥平面PBC. 证明如下:∵M,O分别为PA,AB中点,∴OM∥PB 又PB⊂平面PBC,OM⊄平面PBC∴OM∥平面PBC.(4分) (Ⅱ)连接OC,OP ∵AC=CB=,O为AB中点,AB=2, ∴OC⊥AB,OC=1. 同理,PO⊥AB,PO=1. 又PC=, ∴PC2=OC2+PO2=2,∴∠POC=90°.∴PO⊥OC. ∵PO⊥OC,PO⊥AB,AB∩OC=O, ∴PO⊥平面ABC. ∵PO⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面ABC.(9分)
(Ⅲ)如图,建立空间直角坐标系O-xyz. 则B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1), ∴=(-1,1,0),=(1,0,-1). 由(Ⅱ)知=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量. 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则⇒. 令z=1,则x=1,y=1, ∴平面PBC的一个法向量n=(1,1,1). ∴cos<,n>===. ∵二面角P-BC-A的平面角为锐角, ∴所求二面角P-BC-A的余弦值为.(14分) |