将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：①EF∥AB；②直线EF是异面直

题型：不详难度：来源：

将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为

6

2

；④AC垂直于截面BDE．
其中正确的是______（将正确命题的序号全填上）．

答案

如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF⊂面ACF，
∴EF⊥BD，在等腰三角形AFC中，EF⊥AC
即直线EF是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确．
当二面角A-BD-C是直二面角时，则∠CFA=90°，
由于 FA=FC=

3

，且AC=

6

，EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，
∴EF⊥AC，EF=

FA•FC

AC

=

6

2

当二面角A-BD-C是直二面角时，即AC与BD间的距离为

6

2

，故③正确．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故④正确．
故答案为 ②③④．