表面积为4π的球O与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A、B两点，三角形OAB的面积S=25，则球心到二面角的棱的距离为______．

题型：不详难度：来源：

表面积为4π的球O与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A、B两点，三角形OAB的面积S=

2

5

，则球心到二面角的棱的距离为______．

答案

由题意，S=4πR²=4π，∴R=1，
根据截面图，PA和PB是球的大圆切线，OP是球心至棱的距离，
∵S_△OAB=

1

2

R2sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB=

2

5

，
∴sin∠AOB=

4

5

，
∴cos∠AOB=

3

5

，
∴cos

∠AOB

2

=

2 5

5

，
∵cos

∠AOB

2

=

OA

OP

，
∴OP=

5

2

．