如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N， （Ⅰ）求二面角B1-AM-N的

题型：陕西省模拟题难度：来源：

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN=2C₁N，
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离。

答案

解：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AM⊥BC，
又AM⊥CC₁，所以AM⊥面BC，
从而AM⊥B₁M，AM⊥NM，
所以∠B₁MN为二面角B₁-AM-N的平面角。
又B₁M=，
MN=，
连B₁N，得B₁N=，
在△B₁MN中，由余弦定理得
，
故所求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）过B₁在面内作直线，H为垂足，
又AM⊥平面，
所以AM⊥B₁H，于是B₁H⊥平面AMN，
故B₁H即为B₁到平面AMN的距离。
在中，B₁H=B₁M，
故点B₁到平面AMN的距离为1。