如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1,(1)求证:BC⊥平面A

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1,(1)求证:BC⊥平面A

题型:0111 期中题难度:来源:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1,
(1)求证:BC⊥平面ACFE;
(2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值;
(3)若点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围。
答案
(1)证明:在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2,

=3,

∴BC⊥AC,
∵平面ACEF⊥平面ABCD,
平面ACFE∩平面ABCD=AC,
平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE。 (2)解:取FB中点为G,连结AG、CG,

∴AB=AF,
∴AG⊥FB,
∵CF=CB=1,
∴CG⊥FB,
∴∠AGC=θ,
∵BC⊥CF,


(3)解:由(2)知,
①当M与F重合时,
②当M与E重合时,过B作BN∥CF,
且使BN=CF,连结EN、FN,
则平面
∵BC⊥CF,又∵AC⊥CF,
∴CF⊥平面ABC,
∴BN⊥平面ABC,
∴∠ABC=θ,
∴θ=60°,

③当M与E、F都不重合时,

延长AM交CF的延长线于N,连结BN,
∴N在平面MAB与平面FCB的交线上,
∵B在平面MAB与平面FCB的交线上,
∴平面MAB∩平面FCB=BN,
过C作CH⊥NB交NB于H ,连结AH,
由(Ⅰ)知,AC⊥BC,
又∵AC⊥CN,
∴AC⊥平面NCB,
∴AC⊥NB, 
又∵CH⊥NB,AC∩CH=C,
∴NB⊥平面ACH,
∴AH⊥NB,
∴∠AHC=θ,
在△NAC中,
可求得NC=
从而,在△NCB中,
可求得CH=
∵∠ACH=90°,
∴AH=



综上得
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点E,E分别在棱PB,PC上移动,且DE∥BC,
(1)求证:DE⊥平面PAC;
(2)设PA=a,当PE为何值时,二面角A-DE-P为直二面角?

题型:0111 期中题难度:| 查看答案
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB与BB1的中点,
(Ⅰ)求证:EF⊥平面A1D1B;
(Ⅱ)求二面角F-DE-C的正切值。

题型:0111 期中题难度:| 查看答案
如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点,将△ACD沿折起,使平面ACD⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示,
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值。

题型:浙江省期中题难度:| 查看答案
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2,
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)求证:EF⊥平面DCE;
(3)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?

题型:山东省期中题难度:| 查看答案

在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=1,BC=,SB=2
(1)求三棱锥S-ABC的体积;
(2)求二面角C-SA-B的大小;
(3)求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

题型:0119 期中题难度:| 查看答案
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