已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点,(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(3)

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点,(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(3)

题型:模拟题难度:来源:
已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点,
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.

答案
解:(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2,

即四棱锥P-ABCD的体积为
(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE;
证明如下:连接AC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD⊥AC,
∵PC⊥底面ABCD,且BD平面ABCD,
∴BD⊥PC,
又∵AC∩PC=C,
∴BD⊥平面PAC,
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC,
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE; (3)如图,在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连接BF,
∵AD=AB=1,
∴Rt△ADF≌Rt△ABE,
从而△ADF≌△ABF,
∴BF⊥AE,
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角,
在Rt△ADE中,

在△DFB中,由余弦定理得


即二面角D-AE-B的大小为
举一反三
正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的大小为[     ]
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
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如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上, AE=EB=AF=FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF。
(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值;
(Ⅱ)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A′重合,求线段FM的长。
题型:同步题难度:| 查看答案
如图,已知△AOB,∠AOB=,∠BAO=,AB=4,D为线段AB的中点,若△AOC是△AOB 绕直线AO旋转而成的,记二面角B-AO-C的大小为θ。
(1)当平面COD⊥平面AOB时,求θ的值;
(2)当时,求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围。
题型:辽宁省模拟题难度:| 查看答案
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=3,∠ACB=90°,D为CC1上的点,二面角A-A1B-D的余弦值为-

(1)求证:CD=2;
(2)求点A到平面A1BD的距离。
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如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,PA=1,P在平面ABC内的射影为BF的中点O,(Ⅰ)证明PA⊥BF;
(Ⅱ)求面APB与面DPB所成二面角的大小。

题型:安徽省高考真题难度:| 查看答案
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