如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥CF,AD=,EF=2,BE=3,CF=4。 (Ⅰ)求证:EF⊥平面DCE;(Ⅱ)当AB的
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如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥CF,AD=,EF=2,BE=3,CF=4。 (Ⅰ)求证:EF⊥平面DCE;(Ⅱ)当AB的
题型:福建省模拟题
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来源:
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥CF,AD=
,EF=2,BE=3,CF=4。
(Ⅰ)求证:EF⊥平面DCE;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°.
答案
(Ⅰ)证明:在△BCE中,BC⊥CF,BC=AD=
,BE=3,∴EC=2
,
∵在△FCE中,CF
2
=EF
2
+CE
2
,
∴EF⊥CE,
由已知条件知,DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF,
又DC与EC相交于C,
∴EF⊥平面DCE。
(Ⅱ)解:过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连结AH,
由平面ABCD⊥平面BEFC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,
AB⊥BC,得AB⊥平面BEFC,
从而AH⊥EF,
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角,
在Rt△CEF中,因为EF=2,CF=4,EC=
,
∴∠CEF=60°,由CE∥BH,得∠BHE=60°,
又在Rt△BHE中,BE=3,
∴
,
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°,
在Rt△AHB中,解得:
,
所以,当
时,二面角A-EF-C的大小为60°。
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