已知函数f(x)=13x3-2x2+ax(a∈R,x∈R)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.(Ⅰ)求a的值和切线l的方程;(Ⅱ
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已知函数f(x)=13x3-2x2+ax(a∈R,x∈R)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.(Ⅰ)求a的值和切线l的方程;(Ⅱ
题型:丰台区一模
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-2
x
2
+ax(a∈R,x∈R)
在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.
(Ⅰ)求a的值和切线l的方程;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵
f(x)=
1
3
x
2
-2
x
2
+ax
,
∴f
/
(x)=x
2
-4x+a.(2分)
∵在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,
∴x
2
-4x+a=-1有且只有一个实数根.
∴△=16-4(a+1)=0,
∴a=3.(4分)
∴x=2,
f(2)=
2
3
.
∴切线l:
y-
2
3
=-(x-2)
,即3x+3y-8=0.(7分)
(Ⅱ)∵f
/
(x)=x
2
-4x+3=(x-2)
2
-1≥-1.(9分)
∴tanθ≥-1,(10分)
∵θ∈[0,π),
∴
θ∈[0,
π
2
)∪[
3π
4
,π)
(13分)
举一反三
若直线l:y-2x-1=0,则该直线l的倾斜角是______.
题型:杨浦区一模
难度:
|
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设双曲线
C:
x
2
4
-
y
2
=1
的右焦点为F,直线l过点F.若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.
k≤-
1
2
或
k≥
1
2
B.
k<-
1
2
或
k>
1
2
C.
-
1
2
<k<
1
2
D.
-
1
2
≤k≤
1
2
题型:不详
难度:
|
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直线4x+y-1=0的倾斜角θ=______.
题型:上海
难度:
|
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若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)
2
+y
2
=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为( )
A.
(-
3
,
3
)
B.
[-
3
,
3
]
C.
(-
3
3
,
3
3
)
D.
[-
3
3
,
3
3
]
题型:青州市模拟
难度:
|
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已知直线的倾斜角为α,且
sin(α+
π
4
)=
3
5
,则该直线的斜率为______
题型:延庆县一模
难度:
|
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