已知圆M:(x+5)2+y2=36,定点N(5,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2NQ,GQ•NP=0.(I)求点G的轨迹C的
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已知圆M:(x+5)2+y2=36,定点N(5,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2NQ,GQ•NP=0.(I)求点G的轨迹C的
题型:广西一模
难度:
来源:
已知圆
M:(x+
5
)
2
+
y
2
=36
,定点
N(
5
,0)
,点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足
NP
=2
NQ
,
GQ
•
NP
=0
.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
OS
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
答案
(I)
NP
=2
NQ
GQ
•
PN
=0
⇒
Q为PN的中点且GQ⊥PN⇒GQ为PN的中垂线⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长a=3,半焦距
c=
5
,
∴短半轴长b=2,∴点G的轨迹方程是
x
2
9
+
y
2
4
=1
(5分)
(II)因为
OS
=
OA
+
OB
,所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得|
OS
|=|
AB
|,则四边形OASB为矩形∴
OA
•
OB
=0
若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,
由
x=2
x
2
9
+
y
2
4
=1
得
x=2
y=±
2
5
3
∴
OA
•
OB
=
16
9
>0
,与
OA
•
OB
=0
矛盾,
故l的斜率存在.(7分)
设l的方程为y=k(x-2),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
y=k(x-2)
x
2
9
+
y
2
4
=1
⇒(9
k
2
+4)
x
2
-36
k
2
x+36(
k
2
-1)=0
∴
x
1
+
x
2
=
36
k
2
9
k
2
+4
,
x
1
x
2
=
36(
k
2
-1)
9
k
2
+4
①
y
1
y
2
=[k(x
1
-2)][k(x
2
-2)]=
k
2
[
x
1
x
2
-2(
x
1
+
x
2
)+4]=-
20
k
2
9
k
2
+4
②(9分)
把①、②代入x
1
x
2
+y
1
y
2
=0得
k=±
3
2
∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等.
举一反三
经过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线l
1
:x+2y-2=0与直线l
2
:ax+y-a=0交于点P,l
1
与y轴交于点A,l
2
与x轴交于点B,若A,B,P,O四点在同一圆周上(其中O为坐标原点),则实数a的值是( )
A.2
B.-2
C.
1
2
D.
-
1
2
题型:不详
难度:
|
查看答案
与直线l:y=2x+3平行且与圆(x-1)
2
+(y-2)
2
=1相切的直线方程是( )
A.
x-y±
5
=0
B.
2x-y±
5
=0
C.
x-2y±
5
=0
D.
2x+y±
5
=0
题型:不详
难度:
|
查看答案
与直线l:y=2x+3平行且与圆x
2
+y
2
-2x-4y+4=0相切的直线方程是( )
A.
x-y±
5
=0
B.
x-2y±
5
=0
C.
2x+y±
5
=0
D.
2x-y±
5
=0
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知两直线l
2
:mx+8y+n=0和l
8
:8x+my-2=0,
(2)若l
2
与l
8
交于点p(m,-2),求m,n的值;
(8)若l
2
∥
l
8
,试确定m,n需要满足的条件;
(3)若l
2
⊥l
8
,试确定m,n需要满足的条件.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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