已知椭圆 经过点,且其右焦点与抛物线的焦点重合,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,线段上是否存在点,使得?若存

已知椭圆 经过点,且其右焦点与抛物线的焦点重合,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,线段上是否存在点,使得?若存

题型:不详难度:来源:
已知椭圆 经过点,且其右焦点与抛物线的焦点重合,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,线段上是否存在点,使得
若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为
试证明:直线过定点.
答案
(1)
(2)存在,
(3)详见解析
解析
解:(1)由题意,得: 
所以 , 解,得 ,所以椭圆的方程为: ;
(2)设直线 的方程为: ,代入,得:
 
 恒成立.
线段的中点为 ,
 ,
 得: ,
所以直线 为直线 的垂直平分线,
直线的方程为: ,
 得:点的横坐标
因为, 所以,所以.
所以线段 上存在点 使得,其中.
证明:设直线 的方程为:,代入,得:

,得: ,
 ,则
 ,
则直线的方程为 ,
 得: 
 ,
所以直线 过定点 .
举一反三
已知平行四边形ABCD的两条邻边AB、AD所在的直线方程为,它的中心为M,求平行四边形另外两条边CB、CD所在的直线方程及平行四边形的面积.
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直线L经过点,且被两直线L1和 L2截得的线段AB中点恰好是点P,求直线L的方程.
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直线与曲线交于两点,若的面积为1,求直线的方程.
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已知椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为,离心率,直线过点与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)上是否存在点,使得当转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点的坐标与的方程;若不存在,说明理由.
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已知是双曲线的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称,则该双曲线的离心率为 (   )
A.B.C.D.

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