已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．

题型：不详难度：来源：

已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l₁：x＋y＋1＝0和l₂：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．

答案

x＝3或y＝1

解析

(解法1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l₁、l₂的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的线段AB的长＝5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.
解方程组，得A，
解方程组，得B.
由＝5，得＝5².
解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.
(解法2)由题意，直线l₁、l₂之间的距离为d＝＝，且直线l被平行直线l₁、l₂所截得的线段AB的长为5(如图)．

设直线l与直线l₁的夹角为θ，则sinθ＝，故θ＝45°.
由直线l₁：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3，1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.
(解法3)设直线l与l₁、l₂分别相交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁＋y₁＋1＝0，x₂＋y₂＋6＝0.
两式相减，得(x₁－x₂)＋(y₁－y₂)＝5.①
又(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²＝25，②
联立①②，可得 
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.
故所求直线方程为x＝3或y＝1.