一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于A,B两点,C为抛物线准线的一点.(1)求证:∠ACB不可能是钝角;(2)是否存在这样的点C,使得△A
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一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于A,B两点,C为抛物线准线的一点. (1)求证:∠ACB不可能是钝角; (2)是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-,m), 直线AB方程为x=ty+ 由,得:y2-2pty-p2=0, 则y1+y2=2pt,y1y2=-p2 ∴x1+x2=2pt2+p,x1x2=. =(x1+,y1-m),=(x2+,y2-m) ∴•=(pt-m)2≥0 ∴<,>不可能为钝角, 故∠ACB不可能是钝角 (2)假设存在点C,使得△ABC为正三角形 由(1)得:线段AB的中点为M(pt2+,pt) ①若直线AB的斜率不存在,这时t=0,A(,p),B(,-p), 点C的坐标只可能是(,-p),由|CM|=|AB|, 得:p=•2p,矛盾,于是直线AB的斜率必存在. ②由CM⊥AB,得:kCM•kAB=-1, 即•=-1, ∴m=pt3+2pt, ∴C(-,pt3+2pt)|CM|=p(t2+1),|AB|=2p(t2+1), 由|CM|=|AB|,得:t=±, ∴C(-,±4p) 故存在点C(-,±4p),使得△ABC为正三角形. |
举一反三
已知三条直线的方程分别是y=2x,y=x+2和y=-x,则这三条直线所围成的三角形面积为( ) |
如果直线l1:2x-ay+1=0与直线l2:4x+6y-7=0平行,则a=______. |
若直线ax+3y-5=0经过点(2,1),则a的值为 ______. |
求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. |
已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:x-2y-1=0,l2:ax+by-1=0,则直线l1⊥l2的概率为______. |
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