已知矩形ABCD中,AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;(2)
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已知矩形ABCD中,AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;(2)
题型:延庆县一模
难度:
来源:
已知矩形ABCD中,
AB=2
2
,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与(1)中的椭圆交于M,N两点,是否存在直线l,使得以线段MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为
(-
2
,0),(
2
,0),(
2
,1)
.
设椭圆的标准方程是
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
.
则2a=AC+BC,
即
2a=
(2
2
)
2
+
1
2
+1=4>2
2
,所以a=2.
所以b
2
=a
2
-c
2
=4-2=2.
所以椭圆的标准方程是
x
2
4
+
y
2
2
=1
.
(2)由题意知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx+2.
由
y=kx+2
x
2
+2
y
2
=4.
得(1+2k
2
)x
2
+8kx+4=0.
因为M,N在椭圆上,
所以△=64k
2
-16(1+2k
2
)>0.
设M,N两点坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
).
则
x
1
+
x
2
=-
8k
1+2
k
2
x
1
x
2
=
4
1+2
k
2
,
若以MN为直径的圆恰好过原点,则
OM
⊥
ON
,
所以x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
所以,x
1
x
2
+(kx
1
+2)(kx
2
+2)=0,
即(1+k
2
)x
1
x
2
+2k(x
1
+x
2
)+4=0,
所以,
4(1+
k
2
)
1+2
k
2
-
16
k
2
1+2
k
2
+4=0
,即
8-4
k
2
1+2
k
2
=0
,
得k
2
=2,
k=±
2
经验证,此时△=48>0.
所以直线l的方程为
y=
2
x+2
,或
y=-
2
x+2
.
即所求直线存在,其方程为
y=±
2
x+2
.
举一反三
经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行的直线的斜截式方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知圆C的方程为x
2
+y
2
+4x-2y=0,经过点P(-4,-2)的直线l与圆C相交所得到的弦长为2,则直线l的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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“a=2”是“直线2x+ay-1=0与直线ax+2y-2=0平行”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
题型:不详
难度:
|
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直线x+(2+m)y+1=0与(m+2)x-my-2=0平行,则m=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线l过点(-1,-1),且在x,y轴上的截距相等,则直线l的方程为( )
A.x+y+2=0
B.y=x
C.x+y+2=0或x-y-1=0
D.y=x或x+y+2=0
题型:不详
难度:
|
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