已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,半径小于5. (1)求直线PQ与圆C的方程; (2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点
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已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,半径小于5. (1)求直线PQ与圆C的方程; (2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A、B,∠AOB=90°,求直线l的方程. |
答案
解:(1)直线PQ的方程为y-3=×(x+1),即x+y-2=0, C在PQ的中垂线y-=1×(x-),即y=x-1上, 设C(n,n-1), 则r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2, 由题意,有r2=(2)2+|n|2, ∴n2+12=2n2-6n+17, ∴n=1或5,r2=13或37(舍去), ∴圆C为(x-1)2+y2=13. (2)设直线l的方程为x+y+m=0, 由,得2x2+(2m-2)x+m2-12=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1-m,x1x2=, ∵∠AOB=90°, ∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0, ∴m2+m-12=0,∴m=3或-4(均满足Δ>0), ∴l为x+y+3=0或x+y-4=0. |
举一反三
已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l1过定点A(3,0),且与圆C相切。 (1)求直线l1的方程; (2)设圆C与x轴交于P、Q两点,M是圆C上异于P、Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′,求证:以P′Q′为直径的圆C′总过定点,并求出定点坐标. |
已知直线l过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l的方程为( )。 |
过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )。 |
求经过直线l1:3x+4y-5=0与l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程: (Ⅰ)经过原点; (Ⅱ)与直线2x+y+5=0平行; (Ⅲ)与直线2x+y+5=0垂直. |
已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点。 (Ⅰ)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (Ⅱ)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程; (Ⅲ)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长。 |
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