试题分析:解决立体几何中的垂直、距离及空间角,有几何法与空间向量法,其中几何法,需要学生具备较强的空间想象能力及扎实的立体几何理论知识;向量法,则要求学生能根据题意准确建立空间直角坐标系,写出有效点、有效向量的坐标必须准确无误,然后将立体几何中的问题的求解转化为坐标的运算问题,这也需要学生具备较好的代数运算能力. 几何法:(1)要证,只须证明平面,然后根据线面垂直的判定定理进行寻找条件即可;(2)运用的关系进行计算即可求出点到面的距离;(3)先作于,连接,然后充分利用长方体的性质证明为二面角的平面角,最后根据所给的棱长与角度进行计算即可得到线段的长. 向量法: (1)建立空间坐标,分别求出的坐标,利用数量积等于零即可;(2)当为的中点时,求点到平面的距离,只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可;(3)设,因为平面的一个法向量为,只需求出平面的法向量,然后利用二面角为,根据夹角公式,求出即可. 试题解析:解法一:(1)∵平面,∴,又∵,∩,∴平面, 4分 (2)等体积法:由已知条件可得,,,所以为等腰三角形 =, ,设点到平面的距离,根据可得,,即,解得 8分 (3)过点作于,连接
因为平面,所以,又,∩,所以平面 故,为二面角的平面角 所以,,,, 由可得, 14分 解法二: 以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系
设,则, (1),,故; (2)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ; (3)设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去), ∴时,二面角的大小为. |