设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（   ） A．有最大值而无最小值    

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设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（   ）
A．有最大值而无最小值                   B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值，两者不等       D．是一个与面QPS无关的常数

答案

D

解析

设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则v_S-PQR=S_△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，S_△PQR·d=_△PRS·d+S_△PRS·d+_△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。