在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若直线x+y+a=0与圆C交于A,B两点,且AB=2,求实数
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在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程; (2)若直线x+y+a=0与圆C交于A,B两点,且AB=2,求实数a的值. |
答案
(1)x2+y2-2x+2y-3=0(2) |
解析
试题分析:(1)曲线y=x2-2x-3与坐标轴的交点有三个交点,本题就是求过三个点的圆的方程,因此设圆方程的一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0,若从图形看,则圆的方程又可设成x2+y2-2x+Ey-3=0,再利用过点求出(2)先将圆的一般式化为标准式:,明确圆心和半径,涉及圆的弦长问题,利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形,列等量关系: 试题解析:(1)曲线与y轴的交点是(0,-3).令y=0,得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3. 即曲线与x轴的交点是(-1,0),(3,0). 2分 设所求圆C的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则,解得D=-2,E=2,F=-3. 所以圆C的方程是x2+y2-2x+2y-3=0. 5分 (2)圆C的方程可化为, 所以圆心C(1,-1),半径. 7分 圆心C到直线x+y+a=0的距离,由于 所以,解得. 10分 |
举一反三
已知t∈R,圆C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0. (1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上,求圆C的方程; (2)圆C是否过定点?如果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,说明理由. |
已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点,且=6,求圆C的方程. |
已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为________,最小值为________. |
若直线l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆C:x2+y2+8x+2y+1=0,则ab的最大值为________. |
已知圆O:x2+y2=4,则过点P(2,4)与圆O相切的切线方程为________________. |
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