已知圆C:x2+y2+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0.(1)若直线l与圆C没有公共点,求m的取值范围;(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,O为原点
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已知圆C:x2+y2+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0. (1)若直线l与圆C没有公共点,求m的取值范围; (2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值. |
答案
(1)(2)m=3 |
解析
(1)将圆的方程配方, 得2+(y-3)2=, 故有>0,解得m<. 将直线l的方程与圆C的方程组成方程组,得 消去y,得x2+2+x-6×+m=0, 整理,得5x2+10x+4m-27=0, ① ∵直线l与圆C没有公共点,∴方程①无解,故有Δ=102-4×5(4m-27)<0,解得m>8.∴m的取值范围是. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由OP⊥OQ,得=0,即x1x2+y1y2=0, ② 由①及根与系数的关系,得 x1+x2=-2,x1·x2=, ③ 又∵P、Q在直线x+2y-3=0上, ∴y1·y2=·= [9-3(x1+x2)+x1·x2], 将③代入上式,得y1·y2=, ④ 将③④代入②得x1·x2+y1·y2=+=0,解得m=3. 代入方程①检验得Δ>0成立,∴m=3. |
举一反三
直线x+y-2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,则=( ). |
已知一个圆同时满足下列条件:①与x轴相切;②圆心在直线3x-y=0上;③被直线l:x-y=0截得的弦长为2,则此圆的方程为________. |
直线l:y=k(x-2)+2与圆C:x2+y2-2x-2y=0相切,则直线l的斜率为( ). |
在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是( ). |
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