)设点C为曲线y=(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.(1)证明:多边形EACB的面积是定值,并求这个定值;(2)
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)设点C为曲线y=(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.(1)证明:多边形EACB的面积是定值,并求这个定值;(2)
题型:不详
难度:
来源:
)设点
C
为曲线
y
=
(
x
>0)上任一点,以点
C
为圆心的圆与
x
轴交于点
E
、
A
,与
y
轴交于点
E
、
B
.
(1)证明:多边形
EACB
的面积是定值,并求这个定值;
(2)设直线
y
=-2
x
+4与圆
C
交于点
M
,
N
,若|
EM
|=|
EN
|,求圆
C
的方程.
答案
(1)见解析;(2)(
x
-2)
2
+(
y
-1)
2
=5.
解析
(1)可直接确定点E为原点,所以设圆心C
,然后根据半径长度为|OC|,即可写出圆的标准方程 ,然后再求四边形的面积看是否是定值即可。
(2)根据圆的几何性质可知CE所在直线与直线y=-2x+4垂直,所以根据斜率积为-1,即可求出t的值,进而确定圆的方程。
解:(1)证明:设点
C
(
t
>0),因为以点
C
为圆心的圆与
x
轴交于点
E
、
A
,与
y
轴交于点
E
、
B
.
所以,点
E
是直角坐标系原点,即
E
(0,0).
于是圆
C
的方程是(
x
-
t
)
2
+
2
=
t
2
+
.
则
A
(2
t,
0),
B
.
由|
CE
|=|
CA
|=|
CB
|知,圆心
C
在Rt△
AEB
的斜边
AB
上,于是多边形
EACB
为Rt△
AEB
,
其面积
S
=
|
EA
|·|
EB
|=
×2
t
×
=4.
所以多边形
EACB
的面积是定值,这个定值是4.
(2)若|
EM
|=|
EN
|,则
E
在
MN
的垂直平分线上,即
EC
是
MN
的垂直平分线.
因为
k
EC
=
=
,
k
MN
=-2.
所以由
k
EC
·
k
MN
=-1得
t
=2.
所以圆
C
的方程是(
x
-2)
2
+(
y
-1)
2
=5.
举一反三
曲线C:
与直线
有两个交点时,实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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过点
的方程为
.
题型:不详
难度:
|
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过原点的直线与圆
相交所得弦的长为2,则该直线的方程为________;
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知圆的方程为
,直线方程为
求(Ⅰ)圆心到直线的距离
;
(Ⅱ)直线被圆所截得的弦长.
题型:不详
难度:
|
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圆
与直线
相交于
两点, 若
(
为原点),则圆的半径
值的为
;
题型:不详
难度:
|
查看答案
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