已知圆,直线。(Ⅰ)求证:对,直线与圆C总有两个不同交点.(Ⅱ)设与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程.

已知圆,直线。(Ⅰ)求证:对,直线与圆C总有两个不同交点.(Ⅱ)设与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程.

题型:不详难度:来源:
已知圆,直线
(Ⅰ)求证:对,直线与圆C总有两个不同交点.
(Ⅱ)设与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程.
答案
(1)见解析;(2).
解析
本试题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。
解:
(1)
解法一:
的圆心为,半径为
∴圆心C到直线的距离…………3分
∴直线与圆C相交,即直线与圆C总有两个不同交点;……………………6分
解法二:
方程可得:m(x-1)-y+1=0,令x=1,则y=1
∴对于恒过定点P(1,1),又12+(1-1)2<5    ………………………3分
∴P点在圆C内部
∴直线与圆C相交,即直线与圆C总有两个不同交点; ……………………6分
(2)由(1)得过定点P(1,1)
当M与P不重合时,连结CM、CP,则
 (或者kCM.kMP=-1)………………………………………9分
,则
化简得:
当M与P重合时,也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是 ……………………12分
举一反三
若直线平分圆,则的最小值是(    )
A.B.C.2 D.5

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关于直线对称的圆的方程为      .
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不过原点的直线将圆平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为       .
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设过点,且与圆切于点B的圆记为圆,则圆的标准方程为             
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在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆与直线恒有公共点,且要求使圆的面积最小.
(1)求证:直线过定点,并指出定点坐标;
(2)写出圆的方程;
(3)圆轴相交于两点,圆内动点使,求的取值范围.
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