已知直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、B两点,当|AB|=2时,点P(a,b)到直线2x-y+4=0距离的最小值等于_
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已知直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、B两点,当|AB|=2时,点P(a,b)到直线2x-y+4=0距离的最小值等于______. |
答案
∵曲线x2+y2-2x+2y+1=0, ∴曲线(x-1)2+(y+1)2=1是圆心坐标为(1,-1),半径为1的圆, ∵直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、B两点,|AB|=2, ∴直线(2lna)x+by+1=0过圆心(1,-1), ∴2lna-b+1=0. ∴b=1+2lna, P(a,b)到直线2x-y+4=0距离 d==, 设f(a)=2a+3-2lna, f′(a)=2-, 令f′(a)=0,得a=1. ∴<a<1,f′(a)<0,f(a)递减,a>1,f′(a)>0,f(a)递增, ∴f(a)min=f(1)=5, ∴dmin==, ∴a=1时,P(a,b)到直线2x-y+4=0距离最小值为. 故答案为:. |
举一反三
定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标. |
在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρsin(θ-)=的距离为______. |
已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) |
圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线x-y-1=0的最大距离与最小距离的差为______. |
函数f(x)=2x+图象上的动点P到直线y=2x的距离为d1,点P到y轴的距离为d2,则d1d2=( ) |
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