定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
题型:不详难度:来源:
定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标. |
答案
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3, 那么x1=y12,x2=y22,(1) 32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1](2) 线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为x==(+)=[(y1-y2)2+((y1+y2)2+1)-1]≥[2-1] 由(2)得x≥(2×3-1)=,并且当(y1-y2)2=(y1+y2)2+1=3(3) 时x取得最小值x0= 下证x能达到最小值,根据题意不妨设y1>y2,由(3)得 由此解得y1,y2,由(1)解得x1,x2,所以x可取得最小值. 相应的M点纵坐标y0==± ∴M点坐标为(,)或(,-) |
举一反三
在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρsin(θ-)=的距离为______. |
已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) |
圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线x-y-1=0的最大距离与最小距离的差为______. |
函数f(x)=2x+图象上的动点P到直线y=2x的距离为d1,点P到y轴的距离为d2,则d1d2=( ) |
直线y=-2x+1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的最近距离是( ) |
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