在平面直角坐标系xOy中,二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程;
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在平面直角坐标系xOy中,二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C. (1)求实数b的取值范围; (2)求圆C的方程; (3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论. |
答案
(1)<1且b≠0.(2)x2+y2+2x-(b+1)y+b=0(3)C必过定点(-2,1) |
解析
(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b),令f(x)=0,得x2+2x+b=0,由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0. (2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b,令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一个根为b,代入得E=-b-1,所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圆C必过定点(0,1),(-2,1). 证明:将(0,1)代入圆C的方程,得左边=02+12+2×0-(b+1)×1+b=0,右边=0,所以圆C必过定点(0,1);同理可证圆C必过定点(-2,1). |
举一反三
已知直线l1、l2分别与抛物线x2=4y相切于点A、B,且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R). (1)求直线l1、l2的方程; (2)若l1、l2与x轴分别交于P、Q,且l1、l2交于点R,经过P、Q、R三点作圆C. ①当a=4,b=-2时,求圆C的方程; ②当a,b变化时,圆C是否过定点?若是,求出所有定点坐标;若不是,请说明理由. |
如图,已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么.
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如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.
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P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,试求x2+y2的最小值. |
已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为________. |
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