试题分析:(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程,由题意首先求出椭圆的方程为,设,,由已知,找出与之间的关系,利用点在椭圆上,代入即可求出动点C的轨迹E的方程;(Ⅱ)判断直线CD与曲线E的位置关系,由(Ⅰ)动点的轨迹的方程为,主要看圆心到直线距离与半径之间的关系,因此,主要找直线的方程,设,则,由题意三点共线,得 ∥,设点的坐标为,利用共线,求出,得点的坐标为,从而得点的坐标为,这样写出直线的方程,利用点到直线位置关系,从而可判断直线CD与曲线E的位置关系. 试题解析:(Ⅰ)设椭圆C的方程为,则由题意知b = 1,, ∴,,所以椭圆的方程为。(2分) 设,,由题意得,即 又,代入得,即。 即动点的轨迹的方程为。(6分) (Ⅱ)设,点的坐标为, ∵三点共线,∴ ∥, 而,,则,∴, ∴点的坐标为,点的坐标为, ∴直线的斜率为,(9分) 而,∴,∴, ∴直线的方程为,化简得, ∴圆心到直线的距离, 所以直线与圆相切。(13分) |