在平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个不同的交点.经过这三个交点的圆记为C.(I)求实数b的取值范围;(I
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在平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个不同的交点.经过这三个交点的圆记为C. (I)求实数b的取值范围; (II)求圆C的一般方程; (III)圆C是否经过某个定点(其坐标与b无关)?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
(I)令x=0得抛物线与y轴交点是(0,b);令f(x)=x2+2x+b,由题意b≠0, 且△=4-4b>0,解得b<1,且b≠0. 即实数b的取值范围 {b|b<1,且b≠0 }. (II)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则此圆和坐标轴有3个交点, 即f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴的三个交点. 令y=0得,x2+Dx+F=0,由题意可得,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b. 令x=0得,y2+Ey+F=0,由题意可得,此方程有一个根为b,代入此方程得出E=-b-1, 所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (III)圆C过定点(0,1)和(-2,1). 证明如下: 法1,直接将点的坐标代入验证,可得点(0,1)和(-2,1)的坐标是 圆的方程x2+y2+2x-(b+1)y+b=0 的解, 故圆C过定点(0,1)和(-2,1). 法2,圆C的方程改写为x2+y2+2x-y-b(y-1)=0,令 , 解得或,故圆C 过定点(0,1)和(-2,1). |
举一反三
圆心为(0,0),且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为x2+y2=______. |
圆(x-1)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为( )A.(-1,3),2 | B.(1,-3), | C.(1,-3),2 | D.(-1,3), |
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经过点M(2,1),并且与圆x2+y2-6x-8y+24=0相切的直线方程是______. |
已知圆x2+y2-2x+4y-4=0,则圆心P为( )A.(-2,4) | B.(2,-4) | C.(1,-2) | D.(-1,2) |
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求圆心在l1:y-3x=0上,与x轴相切,且被直线l2:x-y=0截得弦长为4的圆的方程. |
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