已知动圆C经过坐标原点O,且圆心C在直线l:2x+y=4上.(1)求半径最小时的圆C的方程;(2)求证:动圆C恒过一个异于点O的定点.
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已知动圆C经过坐标原点O,且圆心C在直线l:2x+y=4上. (1)求半径最小时的圆C的方程; (2)求证:动圆C恒过一个异于点O的定点. |
答案
(1)因为圆心C在直线l:2x+y=4上, 所以设圆心的坐标为(a,4-2a). 又因为动圆C经过坐标原点O, 所以动圆的半径r=,所以半径r的最小值为. 并且此时圆的方程为:(x-)2-(y-)2=. (2)设定点坐标(x0,y0),因为圆的方程为:(x-a)2+[y-(4-2a)]2=a2+(4-2a)2 所以x02-2ax0+y02-2(4-2a)y0=0, 即a(4y0-2x0)+(x02+y02-8y0)=0, 因为当a为变量时,x0,y0却能使该等式恒成立, 所以只可能4y0-2x0=0且x02+y02-8y0=0 即解方程组可得:y0=,x0=或者y0=0,x0=0(舍去) 所以圆C恒过一定点(,). |
举一反三
圆心为(1,2),且半径长为5的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y+2)2=25 | B.(x+1)2+(y+2)2=5 | C.(x-1)2+(y-2)2=25 | D.(x-1)2+(y-2)2=5 |
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已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1). (1)求圆心C所在的直线方程; (2)若圆心C的半径为1,求圆C的方程. |
圆C的圆心在直线x-y+1=0上,且圆C经过点A(1,1)和B(2,-2),求圆C的标准方程. |
(1)已知一个圆经过点P(5,1),且圆心在点C(6,-2),求圆的方程. (2)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.求当a为何值时,直线l与圆C相切. |
已知圆C的圆心在直线y=2x上,且与直线l:x+y+1=0相切于点P(-1,0). (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)若A(1,0),点B是圆C上的动点,求线段AB中点M的轨迹方程,并说明表示什么曲线. |
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