已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线上l上存在点A(点A在x轴上方),使△AF1F2为等腰三角形.(1)求离心率e
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线上l上存在点A(点A在x轴上方),使△AF1F2为等腰三角形.(1)求离心率e
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,其右准线上l上存在点A(点A在x轴上方),使△AF
1
F
2
为等腰三角形.
(1)求离心率e的范围;
(2)若椭圆上的点
(1,
2
2
)
到两焦点F
1
,F
2
的距离之和为
2
2
,求△AF
1
F
2
的内切圆的方程.
答案
(1)由题意有
F
1
(-c,0),
F
2
(c,0),l:x=
a
2
c
.(2分)
设
A(
a
2
c
,
y
0
)
,由△AF
1
F
2
为等腰三角形,则只能是F
1
F
2
=F
2
A,又
F
2
A>
a
2
c
-c
,
即
2c>
a
2
c
-c
,所以
3
3
<e<1
.(6分)
(2)由题意得椭圆的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
,其离心率为
2
2
>
3
3
,此时F
1
(-1,0),F
2
(1,0),l:x=2.
由F
1
F
2
=F
2
A,可得
y
0
=
3
.(10分)
设内切圆的圆心B(x
1
,y
1
),
A
F
1
:x-
3
y+1=0
,
B
F
2
:y=-
3
(x-1)
,
因为△AF
1
F
2
为等腰三角形,所以△AF
1
F
2
的内切圆的圆心点B到AF
1
的距离等于点B到x轴的距离,即
-x
1
+
3
y
1
+1
2
=
y
1
,①
由点B在直线BF
2
上,所以
y
1
=-
3
(
x
1
-1)
,②
由①②可得
x
1
=
3
-1
y
1
=2
3
-3
所以△AF
1
F
2
的内切圆的方程为
(x+1-
3
)
2
+(y+3-2
3
)
2
=(2
3
-3
)
2
.(16分)
举一反三
已知圆C过点A(0,a)(a>0),且在x轴上截得的弦MN的长为2a.
(1)求圆C的圆心的轨迹方程;
(2)若∠MAN=45°,求圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( )
A.x
2
+(y-4)
2
=25
B.x
2
+(y+4)
2
=25
C.(x-4)
2
+y
2
=25
D.(x+4)
2
+y
2
=25
题型:广州模拟
难度:
|
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过点P(4,2)作圆x
2
+y
2
=4的两条切线,切点分别A,B,O是坐标原点,则△AOB外接圆的方程为( )
A.(x-4)
2
+(y-2)
2
=20
B.(x-2)
2
+(y-1)
2
=5
C.(x+4)
2
+(y+2)
2
=20
D.(x+2)
2
+(y+1)
2
=5
题型:深圳二模
难度:
|
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题型:江西
难度:
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已知点P(2,1)在圆C:x
2
+y
2
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题型:不详
难度:
|
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