已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m：3x-y=0平分圆的面积。（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点D（0，-1），且斜率为k的直线l与圆C有两个

题型：河北省期末题难度：来源：

已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m：3x-y=0平分圆的面积。
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过点D（0，-1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1），，
故线段AB中垂线的方程为y-1=-（x-3），即x+y-4=0，
由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上，
又直线3x-y=0平分圆的面积，所以直线m经过圆心，
由，解得，即圆心的坐标为C（1，3），
而圆的半径r=|AC|=，
故圆C的方程为（x-1）²+（y-3）²=16；
（Ⅱ）由直线l的斜率为k，故可设其方程为y=kx-1，
由消去y得（1+k²）x²-（8k+2）x+1=0，
由已知直线l与圆C有两个不同的公共点，
故△=（8k+2）²-4（1+k²）＞0，
即15k²+8k＞0，
解得：k＜-或k＞0。