已知两点A,B分别在直线y=x和y=-x上运动,且,动点P满足(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C。(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上任意一点作它的切线l
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已知两点A,B分别在直线y=x和y=-x上运动,且,动点P满足(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C。(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上任意一点作它的切线l
题型:模拟题
难度:
来源:
已知两点A,B分别在直线y=x和y=-x上运动,且
,动点P满
足(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆
交于M,N两点,求证:
为定值。
答案
解:(1)设P(x,y),A(x
1
,x
1
),B(x
2
,-x
2
)
∵
∴P是线段AB的中点
∴
∵
∴
∴
∴化简得点P的轨迹C的方程为
。
(2)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
∵l与C相切,
∴
∴
联立
设M (x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
则
∴
又
∴
当直线l的斜率不存在时,l的方程为
,
代入椭圆方程得
或
此时
,
综上所述,
为定值0。
举一反三
如图,在平面斜坐标系中,∠xOy=120°,平面上任意一点的P斜坐标是这样定义的:“若
(其中e
1
,e
2
分别是与x,y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y)”,那么,在斜坐标系中,以O为圆心,2为半径的圆的方程为
[ ]
A.x
2
+y
2
=2
B.x
2
+y
2
=4
C.x
2
+y
2
-xy=2
D.x
2
+y
2
-xy=4
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2
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2
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