解:(Ⅰ)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b),
令,
由题意b≠0且△>0,
解得:b<1且b≠0。
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为,
令y=0,得与x2+2x+b=0是同一个方程,
故D=2,F=b;
令x=0,得,此时方程有一个根为b,
代入,得出E=-b-1,
所以,圆C的方程为。
(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1)。
证明如下:将(0,1)代入圆C的方程,得左边=02+12+2×0-(b+1)+b=0,右边=0,
所以圆C必过定点(0,1),
同理可证圆C必过定点(-2,1)。
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