已知直线l:2xa+yb=2(a>2,b>1)与曲线x2+y2-2x-2y+1=0相切且直线l交与x轴交于A点,交y轴于点B,则△AOB面积的最小值为_____

已知直线l:2xa+yb=2(a>2,b>1)与曲线x2+y2-2x-2y+1=0相切且直线l交与x轴交于A点,交y轴于点B,则△AOB面积的最小值为_____

题型:不详难度:来源:
已知直线l:
2x
a
+
y
b
=2(a>2,b>1)
与曲线x2+y2-2x-2y+1=0相切且直线l交与x轴交于A点,交y轴于点B,则△AOB面积的最小值为______.
答案
将圆C的方程化为标准式方程得(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1),半径r=1
∵直线l:
2x
a
+
y
b
=2(a>2,b>1)

∴A(a,0),B(0,2b),
圆心C(1,1)到直线AB的距离d=r=1即
|2b+a-2ab|


a2+4b2
=1
,两边平方化简得(a-2)(b-1)=1;
由a>2,b>1,可设a-2=m>0,b-1=n>0,且mn=1,
所以S△AOB=ab=(m+2)(n+1)=mn+m+2n+2≥mn+2


2mn
+2=3+2


2
,当且仅当m=n即a=b+1时取等号.
所以三角形AOB面积的最小值为3+2


2

故答案为:3+2


2
举一反三
已知,⊙O的直径为10cm,点O到直线a的距离为d;①若a 与⊙O相切,则d=______;②若d=4cm,则a与⊙O有______个公共点;③若d=6cm,则a与⊙O的位置关系是______.
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直线3x-4y+15=0与圆
x
+
y
=25
分别交于A、B两点,则弦长|AB|为______.
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(极坐标与参数方程)已知点P(x,y)是曲线C上的点,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ-5=0,则使


3
x-y+a≥0恒成立的实数a的取值范围为______.
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已知曲线C是到定点M(-2,0)距离除以到定点N(0,2)的距离商为


2
的点的轨迹,直线l过点A(-1,2)且被曲线C截得的线段长为2


7
,求曲线C和直线l的方程.
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设满足条件x2+y2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S1,满足条件[x]2+[y]2≤1的点(x,y)构成的平面区域的面积为S2(其中[x],[y]分别表示不大于x,y的最大整数,例如[-0.3]=-1,[1.2]=1),给出下列结论:
①点(S1,S2)在直线y=x左上方的区域内;
②点(S1,S2)在直线x+y=7左下方的区域内;
③S1<S2
④S1>S2
其中所有正确结论的序号是______.
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