已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
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已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点; (2)求直线l被圆C截得的最短弦长. |
答案
(1)由,消去y得到(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, ∵△=(2-4k)2+28k2+28>0, ∴不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点; (2)设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2, 令t=,则有tk2-4k+(t-3)=0, 当t=0时,k=-; 当t≠0时,由k∈R,得到△=16-4t(t-3)≥0, 解得:-1≤t≤4,且t≠0, 则t=的最大值为4,此时|AB|最小值为2, 则直线l被圆C截得的最短弦长为2. |
举一反三
将直线x+y=1先绕点(1,0)顺时针旋转90°,再向上平移1个单位后,与圆x2+(y+2)2=r2相切,则半径r的值是( ) |
已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=______. |
由直线y=x+2上的点向圆(x-4)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为( ) |
直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为( ) |
过点P(1,2)向圆x2+y2=r2(r<)引两条切线PA、PB,A、B为切点,则三角形PAB的外接圆面积为______. |
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