已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径,若与AF平行且在y
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已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径,若与AF平行且在y
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F,上顶点为A,P为C
1
上任一点,MN是圆C
2:
x
2
+(y-3)
2
=1的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为
3-
2
的直线l恰好与圆C
2
相切.
(Ⅰ)已知椭圆C
1
的离心率;
(Ⅱ)若
PM
•
PN
的最大值为49,求椭圆C
1
的方程.
答案
(Ⅰ)由题意可知直线l的方程为
bx+cy-(3-
2
)c=0
,
因为直线与圆c
2
:x
2
+(y-3)
2
=1相切,所以
d=
|3c-3c+
2c
|
b
2
+
c
2
=1
,即a
2
=2c
2
,
从而
e=
2
2
;(6分)
(Ⅱ)设P(x,y)、圆C
2
的圆心记为C
2
,则
x
2
2
c
2
+
y
2
c
2
=1
(c>0),又
PM
•
PN
=(
P
C
2
+
C
2
M)
•(
P
C
2
+
C
2
N
)=
P
C
2
2
-
C
2
N
2
=x
2
+(3-y)
2
-1=-(y+3)
2
+2c
2
+17(-c≤y≤c).(8分)
j当
c≥3时,(
PM
•
PN
)
MAX
=17+2
c
2
=49
,解得c=4,此时椭圆方程为
x
2
32
+
y
2
16
=1
;
k当0<c<3时
,(
PM
•
PN
)
MAX
=-(-c+3
)
2
+17+2
c
2
=49
,
解得c=5
2
-3
但
c=5
2
-3>3
,故舍去.
综上所述,椭圆的方程为
x
2
32
+
y
2
16
=1
.(14分)
举一反三
(附加题-选做题)(坐标系与参数方程)
已知曲线C的参数方程为
x=sinα
y=
cos
2
α
,α∈[0,2π),曲线D的极坐标方程为
ρsin(θ+
π
4
)=-
2
.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;
(2)曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.
题型:不详
难度:
|
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直线2ax+by-2ab+6=0(a>0,b>0)平分圆(x-1)
2
+(y-2)
2
=4的面积,则ab的最小值等于______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如果直线y=a和圆x
2
+y
2
-2y=0相切,那么a等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:x=4与x轴相交于点M,动点P满足PM⊥PO(O是坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)试在直线l上确定一点D(异于M点),过点D作曲线C的切线,使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),直线l经过点P(1,1),倾斜角
α=
π
6
,
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆圆C相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.
题型:不详
难度:
|
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