已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．（1）求双曲线

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已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

答案

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，∴2a²=2，a²=1．
∴双曲线C的方程为：x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0且 -2 1-m2 ＞0

，解得1＜m＜

2

．又AB中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直线l的方程为：y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．