已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求m的值．

题型：不详难度：来源：

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求m的值．

答案

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-3=0联解，消去y得：

5

4

x²+

5

2

x+m-

27

4

=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m

5

-

27

5

∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，
∴OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

4

（3-x₁）（3-x₂）=

5

4

x₁x₂-

3

4

（x₁+x₂）+

9

4

=0，
结合前面根与系数关系表达式，代入得：

5

4

（

4m

5

-

27

5

）+

3

2

+

9

4

=0，解之得m=3．