已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B;O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).(1)求证:
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已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B;O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2; (2)求△AOB面积的最小值. |
答案
(1)证明:直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0. 曲线C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 所以曲线C为圆. 圆心到直线l的距离d=, 当d=1时,直线与圆相切, 即=1,整理得(a-2)(b-2)=2, 所以曲线C与直线l相切的条件是:(a-2)(b-2)=2. (2)由(1)得到(a-2)(b-2)=2且a>2,b>2, 则ab=2(a+b)-2≥4-2,当且仅当a=b时等号成立, 所以当a=b时,ab最小即三角形的面积最小,则三角形AOB为等腰直角三角形 则AB=2(+1),所以a=b==+2,三角形的面积S=(+2)2=3+2 所以△AOB的面积的最小值为:3+2. |
举一反三
求圆C:(x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值. |
若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100(1)相交;(2)相切;(3)相离,分别求实数a的取值范围 |
已知圆x2+(y-1)2=1上任意一点p(x,y),求x+y的最小值? |
若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )A.[-,] | B.(-,) | C.[-,] | D.(-,) | 已知直线ax+by+c=0(a,b,c都是正数)与圆x2+y2=1相切,则以a,b,c为三边长的三角形( )A.是锐角三角形 | B.是钝角三角形 | C.是直角三角形 | D.不存在 |
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