设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:①存在一条定直线与所有的圆均相切;②存在一条定直线与所有的圆均相交;③存在一
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设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号). |
答案
根据题意得:圆心(k-1,3k), 圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确; 考虑两圆的位置关系, 圆k:圆心(k-1,3k),半径为k2, 圆k+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为(k+1)2, 两圆的圆心距d==, 两圆的半径之差R-r=(k+1)2-k2=2k+, 任取k=1或2时,(R-r>d),Ck含于Ck+1之中,选项①错误; 若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误; 将(0,0)带入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*), 因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确. 则真命题的代号是②④. 故答案为:②④ |
举一反三
已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B;O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2; (2)求△AOB面积的最小值. |
求圆C:(x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值. |
若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100(1)相交;(2)相切;(3)相离,分别求实数a的取值范围 |
已知圆x2+(y-1)2=1上任意一点p(x,y),求x+y的最小值? |
若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )A.[-,] | B.(-,) | C.[-,] | D.(-,) |
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