已知直线l:2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆C:x2+y2﹣6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明l与C总相交; (2)m取何值时,l被C截得弦长最短,求此弦

已知直线l:2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆C:x2+y2﹣6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明l与C总相交; (2)m取何值时,l被C截得弦长最短,求此弦

题型:江苏期中题难度:来源:
已知直线l:2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆C:x2+y2﹣6x+12y+20=0.
(1)m∈R时,证明l与C总相交; 
(2)m取何值时,l被C截得弦长最短,求此弦长.
答案
解:(1)将直线l变形得:2m(x﹣4)+(y+3)=0,
可得出直线l恒过A(4,﹣3),
将圆C化为标准方程得:(x﹣3)2+(y+6)2=25,
∴圆心C为(3,﹣6),半径r=5,
∵点A到圆心C的距离d==<5=r,
∴点A在圆内,则l与C总相交;
(2)∵直径AC所在直线方程的斜率为=3,
∴此时l的斜率为﹣
又2mx﹣y﹣8m﹣3=0变形得:y=2mx﹣8m﹣3,
即斜率为2m,
∴2m=﹣,即m=﹣
此时圆心距d=|AC|=
又半径r=5,
l被C截得的弦长为2=2
举一反三
已知m∈R,直线l:mx﹣(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2﹣8x+4y+16=0.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么?
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若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(    ).
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已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点,A(6,2),B(8,0),圆C是△OAB的外接圆,过点(2,6)的直线为l.
(1)求圆C的方程;
(2)若l与圆相切,求切线方程;
(3)若l被圆所截得的弦长为4,求直线l的方程.
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过直线y=x上的一点作圆x2+(y﹣4)2=2的两条切线l1,l2,当l1与l2关于y=x对称时,l1与l2的夹角为(    )
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直线y=k(x﹣2)+4与曲线有两个交点,则实数k的取值范围为(    ).
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